Лако-красочные материалы — производство

Математическое описание процесса конвективной диффузии базируется на решении уравнения конвективной диффузии

+ V grad с = DAc (1)

Где с и У — распределение концентрации и скорости жидко­сти.

С математической точки зрения составляющие поля ско­ростей в уравнении (1) выступают как сложные переменные коэффициенты. Решение уравнений в частных производных с переменными коэффициентами связано со значительными трудностями, которые резко возрастают при сложном виде функций. Дальнейшее упрощение задачи достигается за счет того, что в пределах диффузионного пограничного слоя можно существенно упростить вид функций, характеризующих рас­пределение составляющих поля скоростей, так как bD много меньше того характерного расстояния, на котором существенно изменяется скорость (bD — толщина диффузионного погранич­ного слоя, бD А).

Эффективный метод решения подобного рода задачи бази­руется на преобразовании уравнения стационарной конвектив­ной диффузии к виду, характерному для хорошо изученного. уравнения теплопроводности, посредством введения в качестве новой переменной функции тока г|э, через которую составляющие скорости в сферической системе координат г, 0 выражаются следующим образом:

Va_________ У____________________ !___

VQ~ г sin 0 дг ‘ г~ г2 sin 6 56

При подстановке этих выражений в левую часть уравнения конвективной диффузии

Дс дс_ _ / дч_ 2 дс

Последняя преобразуется к очень простому виду — ^(""З^")’

Справа же достаточно удержать только вторую производную по г|?. Это и приводит при переменных 0 и к уравнению типа описывающего нестационарный процесс теплопроводности. При этом справа фигурирует коэффициент, в общем случае пере — менный и при тепловой аналогии имеющий смысл коэффициента теплопроводности. Вид этого коэффициента определяется полем скоростей.

Рассмотрим диффузионный поток на поверхность капли, движущейся в иной жидкости при Re < 1. Поле скоростей в этом случае выражается формулами Адамара—Рыбчинского. Поверхность капли подвижна, и распределение скоростей на ней выражается формулой

V (а, 6) = Vo Sin е (3)

Tj U.

Где V0 =

2 т, + т,’

U — скорость движения капли; г) и г’ — коэффициенты вязкости капли и среды. Формулы Адамара—Рыбчинского в равной степени отно­сятся и к случаю пузырька, движущегося в жидкости, причем в этом случае Tj‘ г).

Используя распределение скоростей Адамара—Рыбчинского, нетрудно показать, что значение тангенциальной составляющей скорости по сечению диффузионного пограничного слоя незна­чительно отличается от скорости поверхности. Поэтому при приведении уравнения конвективной диффузии к перемен­ным 0 и |з коэффициент в правой части уравнения оказывается не зависящим от = —У sin2 9 (у = г — а)

Дс д*с

= Kna* sin3 е-^- (4)

Где k = Ре"1; n = U/V.

Если далее ввести новую переменную T = J sin3 9 DQ = Cos3 0

= —^——— cos 9 + Alf получим уравнения теплопроводности

С постоянным коэффициентом Kna2:

ДС U 2 !СЛ

-W = knaW (5)

Использование тепловой аналогии будет вполне последова­тельным только при условии выбора значения постоянной интегрирования аг такой, чтобы время T не было отрицатель­ным и 6 = 0 соответствовало бы T = 0. Выполняется это при Ах = 2/3. Поэтому:

. 2 Cos3 9 2 + Cos 9 sin* 9

T = P 1 О) = — g — + — g————— COS 6 = (1 + cos6)2 -3- (6)

Нас интересует динамический адсорбционный слой и соот­ветственно диффузионный пограничный слой, которые под­держиваются и носят строго стационарный характер за счет непрерывной адсорбции реагента на одной части подвижной поверхностной капли и десорбции его — с другой. Граничные условия в этом случае должны учитывать конвективный пере­нос поверхностно-активных веществ вдоль поверхности и обмен между поверхностью и объемом. Это граничное условие записы­вается следующим образом

= — Divs (TV* — Ds grad Г) -j- Jn (7)

Где Ds — коэффициент поверхностной диффузии;

/„ — нормальная составляющая плотности потока в объем­ную фазу или из объема на поверхность.

Таким образом, это граничное условие учитывает перенос вещества вдоль поверхности как за счет конвекции, так и за счет поверхностной диффузии. Величина потока поверхностно — активного вещества с поверхности капли в объем жидкости определяется более медленным из двух процессов: адсорб­цией — десорбцией или диффузией. При малом времени уста­новления адсорбционного равновесия (большая скорость адсорб­ции) можно считать, что существует равновесие между локаль­ными значениями адсорбции Г (0) и значением объемной кон­центрации у поверхности с (а, 0). Это значит, что между Г (0) и с (А, 0) должна существовать такая же функциональная связь, как и между Г0 и с0, где Г0 — равновесное значение адсорбции на неподвижной поверхности при объемной кон­центрации с0.

Если исключить случай, когда адсорбция близка к насыще­нию, эту функциональную связь можно рассматривать как линейную

Г(0)/с(а, 9)=Г0/с0=а (8)

Где а — мера поверхностной активности, зависящая от при­роды вещества.

В этом случае высокой скорости адсорбции составляющая /„ определяется скоростью диффузии:

Дс

Jn=-D-^-(a, 6) (9)

Таким образом, при высокой скорости адсорбции величины, фигурирующие в правой и левой части уравнения (7), выра­жаются через распределение концентрации, так что (7) высту­пает в роли граничного условия для уравнения (5),